Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, cạnh đáy bằng $ 2 $, cạnh bên bằng $ 3 $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ SD $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AB\parallel CD \\ AB⊄\left ( { SCD } \right ) \\ CD⊂\left ( { SCD } \right ) \end{array} \right.⇒AB\parallel \left ( { SCD } \right ) $. $ ⇒d\left ( { AB,SD } \right )=d\left ( { AB,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Mặt khác $ \frac { d\left ( { A,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { O,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) }=\frac { AC } { OC }=2 $. Nên $ d\left ( { AB,SD } \right )=2d\left ( { O,\,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Kẻ $ OH⊥CD $ và $ OK⊥SH $. $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥OH \\ CD⊥SO\left ( { SO⊥\left ( { ABCD } \right ),,CD⊂\left ( { ABCD } \right ) } \right ) \end{array} \right. $ $ ⇒CD⊥\left ( { SOH } \right ) $. Mà $ OK⊂\left ( { SOH } \right ) $ nên $ CD⊥OK $. $ \left \{ \begin{array}{l} OK⊥SH \\ OK⊥CD \end{array} \right.⇒OK⊥\left ( { SCD } \right ) $. Suy ra $ d\left ( { O,\,\left ( { SCD } \right ) } \right )=OK $. Ta có $ OH=\frac { 1 } { 2 }AD=1 $. $ AO=\frac { 1 } { 2 }AC=\frac { 1 } { 2 }⋅2⋅\sqrt[] { 2 }=\sqrt[] { 2 } $. Xét $ ΔSOA $ vuông tại $ O $ có $ SO=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AO ^ { 2 } }=\sqrt[] { 7 } $. Xét $ ΔSOH $ vuông tại $ O $ có $ OK $ là đường cao nên $ \frac { 1 } { OK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OH ^ { 2 } } $ $ ⇒OK=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 4 } $. Do đó $ d\left ( { AB,SD } \right )=2OK≈1,87 $.