(Sở Thái Nguyên 2025) Mặt bể bơi của một dự án chung cư cao cấp có dạng một hình chữ nhật với chiều dài $ 25m $ và chiều rộng $ 8m $. Bể bơi sâu $ 1m $ ở bên đầu nông và sâu $ 2m $ bên đầu sâu. Biết hai đầu nông, sâu thuộc hai bên theo chiều dài của bể bơi (tham khảo hình vẽ minh họa). Ban đầu bể không có nước, nước bắt đầu được bơm vào bể lúc 7 giờ sáng với tốc độ $ 1m ^ { 3 } $ mỗi phút. Vào lúc 8 giờ 4 phút sáng thì mực nước dâng lên với tốc độ $ \frac { 1 } { a } $ $ m $/ phút. Giá trị của a bằng bao nhiêu?

Bể bơi gồm 2 phần: +) Phần 1: Khối hộp chữ nhật có 3 cạnh là 8; 25; 1 $ ⇒V_{ 1 } =200\,m ^ { 3 } $ +) Phần 2: Khối lăng trụ tam giác có kích thước là 1; 25; 8 $ ⇒V_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }.1.25.8=100\,m ^ { 3 } $ Tại thời điểm 8 giờ 4 phút sáng, giả sử mực nước cao $ x $ và rộng $ y $ Ta có:$ \frac { x } { 1 }=\frac { y } { 25 }⇒y=25x $ Thể tích nước là $ V=\frac { 1 } { 2 }.x.y.8=64⇔4x.25x=64⇒x=\frac { 4 } { 5 } $ Khi đó $ y=25x=20 $ Diện tích mặt nước là: $ S=y.8=160 $ Do tốc độ nước dâng lên tỉ lệ nghịch với diện tích mặt nước nên ta có $ \frac { 1 } { a }.S=1⇒\frac { 1 } { a }=\frac { 1 } { S }=\frac { 1 } { 160 }⇒a=160 $.