Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AB=AD=1 { \rm{ cm } } $, $ CD=2 { \rm{ cm } } $. Tam giác $ SBD $ cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $. Biết thể tích khối chóp $ S.ABCD $ bằng $ \sqrt[] { 2 } { \rm{ cm } } ^ { 3 } $. Khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng bao nhiêu centimet? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Dễ dàng thấy $ ABMD $ là hình vuông. Mà $ H $ là trung điểm của $ BD $, nên $ H $ cũng là trung điểm của $ AM $ và $ BD⊥AM $. Vì $ MC=MD=MB=1 $ nên $ ΔBDC $ vuông tại $ B⇒BD⊥BC $. Vậy $ AM//BC⇒AM//\left ( { SBC } \right ) $. Do đó, $ d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )={ \rm{ d } }\left ( { H,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $. Dựng $ HK⊥SB $ (1). ($ K\in SB $) $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} SH⊥\left ( { ABCD } \right )⇒ & SH⊥BC \\ & DB⊥BC \\ \end{array} \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SBD } \right )⇒BC⊥HK $ (2). Từ (1) và $ (2) $ suy ra: $ HK⊥\left ( { SBC } \right )⇒{ \rm{ d } }\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )={ \rm{ d } }\left ( { H,\left ( { SBC } \right ) } \right )=HK $ $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }⋅S_{ ABCD } ⋅SH⇔\sqrt[] { 2 }=\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { (1+2)⋅1 } { 2 }⋅SH⇔SH=2\sqrt[] { 2 } $. Xét $ ΔSHB:\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HB ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 8 }+\frac { 2 } { 1 }=\frac { 17 } { 8 }⇒HK=\frac { 2\sqrt[] { 34 } } { 17 }≈0,69 $.