Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 5. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ lên mặt phẳng $ABC$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA'$ và $BC$ bằng $\frac{5\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, khi đó $AM \perp BC$ và $BC \perp (AA'M)$. Kẻ $MH \perp AA'$ tại $H$, suy ra $MH = d(AA', BC) = \frac{5\sqrt{3}}{4}$. Xét $\triangle AA'M$ vuông tại $M$, ta có $AM = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều cạnh 5). $$ \sin \widehat{HAM} = \frac{HM}{AM} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{4}}{\frac{5\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{HAM} = 30^{\circ} $$ Xét $\triangle A'GA$ vuông tại $G$: $$ A'G = AG \cdot \tan \widehat{A'AG} = \frac{2}{3} AM \cdot \tan 30^{\circ} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{3} $$ Thể tích khối lăng trụ: $$ V = S_{ABC} \cdot A'G = \left(\frac{5^{2}\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \frac{5}{3} = \frac{125\sqrt{3}}{12} \approx 18 $$