Bài tự luận · Bài 12
Dạng 2. Xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm - Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$ là $y=f^{′} \left( x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right)+f\left( x_{0}\right)$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 12
(CD11) Cho hàm số $y=f(x)=x^2$ có đồ thị $(P)$.
a) Xác định hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$.
a) Xác định hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=\frac{1}{2}$.
Ta có: $\Delta y=f\left( \frac{1}{2}+\Delta x \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\left( \frac{1}{2}+\Delta x \right)^2-\left( \frac{1}{2} \right)^2=\Delta x+(\Delta x)^2$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=1+\Delta x$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(1+\Delta x)=1$. Suy ra $f'\left( \frac{1}{2} \right)=1$. Vậy $k=f'\left( \frac{1}{2} \right)=1$.
b) Ta có: $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$ là:
$y=1.\left( x-\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{4}$ hay $y=x-\frac{1}{4}$
Ta có: $\Delta y=f\left( \frac{1}{2}+\Delta x \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\left( \frac{1}{2}+\Delta x \right)^2-\left( \frac{1}{2} \right)^2=\Delta x+(\Delta x)^2$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=1+\Delta x$.
Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(1+\Delta x)=1$. Suy ra $f'\left( \frac{1}{2} \right)=1$. Vậy $k=f'\left( \frac{1}{2} \right)=1$.
b) Ta có: $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{4}$.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(P)$ tại điểm có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$ là:
$y=1.\left( x-\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{4}$ hay $y=x-\frac{1}{4}$