Bài tự luận · Bài 13
Dạng 2. Xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm - Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$ là $y=f^{′} \left( x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right)+f\left( x_{0}\right)$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 13
(CD11) Cho hàm số $y=f(x)=2+\frac{1}{x}$ có đồ thị $(C)$.
a) Xác định hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có tung độ bằng 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có tung độ bằng 3.
a) Xác định hệ số góc $k$ của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có tung độ bằng 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có tung độ bằng 3.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $M$ là điểm có tung độ bằng 3 nằm trên $(C)$. Khi đó, hoành độ điểm $M$ bằng 1. Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm $x_0=1$.
Ta có: $\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=\left( 2+\frac{1}{1+\Delta x} \right)-\left( 2+\frac{1}{1} \right)=\frac{1}{1+\Delta x}-1=\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}}{\Delta x}=\frac{-1}{1+\Delta x}$. Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-1}{1+\Delta x}=-1$.
Suy ra $f'(1)=-1$. Vậy $k=f'(1)=-1$.
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(1;3)$ là:
$y=-1(x-1)+3$ hay $y=-x+4$.
Ta có: $\Delta y=f(1+\Delta x)-f(1)=\left( 2+\frac{1}{1+\Delta x} \right)-\left( 2+\frac{1}{1} \right)=\frac{1}{1+\Delta x}-1=\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}$.
Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{1+\Delta x}}{\Delta x}=\frac{-1}{1+\Delta x}$. Ta thấy: $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-1}{1+\Delta x}=-1$.
Suy ra $f'(1)=-1$. Vậy $k=f'(1)=-1$.
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(1;3)$ là:
$y=-1(x-1)+3$ hay $y=-x+4$.