Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi có $ \widehat { ABC }=60°, $ mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ H,\,\,M,\,\,N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB,\,\,SA,\,\,SD $ và $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC. $ Tính khoảng cách từ $ G $ đến mặt phẳng $ (HMN) $ biết khối chóp $ S.ABCD $ có thể tích $ V=\frac { a ^ { 3 } } { 4 } $

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi có $ \widehat { ABC }=60°, $ mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ H,\,\,M,\,\,N $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB,\,\,SA,\,\,SD $ và $ G $ là trọng tâm tam giác $ SBC. $ Tính khoảng cách từ $ G $ đến mặt phẳng $ (HMN) $ biết khối chóp $ S.ABCD $ có thể tích $ V=\frac { a ^ { 3 } } { 4 } $

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image775.png] Gọi $ x $ là cạnh hình thoi, ta có: $ AC=x,BD=x\sqrt[] { 3 },SH=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 } \ \Rightarrow V=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }AC.BD.SH=\frac { x ^ { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } } { 4 }\Rightarrow x=a $ Dựng $ MK//SH,\,\,KI⊥HO,\,\,KJ⊥MI\Rightarrow KJ⊥\left ( { HMN } ight )≡\left ( { \alpha } ight ). $ Chứng minh được $ \left ( { SBC } ight )//\left ( { \alpha } ight ) $$ \Rightarrow d\left ( { G;\left ( { \alpha } ight ) } ight )=d\left ( { S;\left ( { \alpha } ight ) } ight )=d\left ( { A;\left ( { \alpha } ight ) } ight )=2d\left ( { K;\left ( { \alpha } ight ) } ight )=2KJ. $ Tính được $ KI=\frac { 1 } { 4 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 8 },\,\,MK=\frac { SH } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 }. $ Suy ra $ KJ=\frac { KI.KM } { \sqrt[] { KI ^ { 2 } +KM ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 20 }. $ Vậy$ d\left ( { G;\left ( { \alpha } ight ) } ight )=2KJ=2.\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 20 }=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 10 }. $

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 27