Bài tập nâng cao · Bài 26
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 26
Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy là hình thang cân, $ AD $ là cạnh đáy ngắn;$ AD=a,BC=2a, \widehat { ABC }=60 ^ { 0 } $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi $ SC $ và mặt phẳng đáy bằng $ 60 ^ { 0 } $. Tính khoảng cách từ $ C $ đến mặt phẳng$ \left ( { SBD } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ G $ là trung điểm của $ BC $. Khi đó $ ADGB $ là hình thoi, nên $ AG⊥DB,I=AG∩DB $.
Khi đó $ AG⊥DB,SA⊥DB\Rightarrow \left ( { SAG } \right )⊥\left ( { SDB } \right ),\left ( { SAG } \right )∩\left ( { SDB } \right )=SI $
Kẻ $ AK\perp SI $ tại $ K $.
$ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=d\left ( { A,SI } \right )=AK $
$ \widehat { \left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right ) }= \widehat { \left ( { SC,AC } \right ) }= \widehat { SCA }=60 ^ { 0 } $
$ ADCG $ là hình thoi. Gọi $ O=AC∩GD $thì $ OG=OD $,$ ADG $ là tam giác đều nên $ AC=2AO=2.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=a\sqrt[] { 3 } $
Tam giác $ SAC $ vuông tại $ A $: $ SA=AC.tanC=a\sqrt[] { 3 }.tan60 ^ { 0 } =3a $.
$ ABG $ là tam giác đều nên $ AI=\frac { AG } { 2 }=\frac { a } { 2 } $.
$ \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 9a ^ { 2 } }+\frac { 4 } { a ^ { 2 } }=\frac { 37 } { 9a ^ { 2 } }\Rightarrow AK=\frac { 3a } { \sqrt[] { 37 } } $;
Ta có: $ DC//GI,DC=2GI, $
nên $ d\left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right )=2d\left ( { G,\left ( { SDB } \right ) } \right )=2d\left ( { A,\left ( { SDB } \right ) } \right )=2AK=\frac { 6a } { \sqrt[] { 37 } } $