(Liên Trường Nghệ An 2025) Có bao nhiêu cấp số cộng có ít nhất $ 20 $ số hạng thỏa mãn các số hạng của cấp số cộng là các số tự nhiên, công sai của cấp số cộng bằng $ 2 $ và tổng tất cả các số hạng bằng $ 6300? $

Gọi số hạng đầu của cấp số cộng là $ a, $ công sai $ d=2, $ số số hạng của cấp số cộng là $ n,\,\left ( { n\geq 20 } \right ) $. Theo bài ra ta có: $ S_{ n } =6300⇒\frac { n } { 2 }\left[ 2a+2\left ( { n-1 } \right ) \right]=6300⇔n\left ( { a+n-1 } \right )=6300 $. Do $ a $ và $ n $ là các số tự nhiên nên suy ra $ n $ là ước nguyên dương của $ 6300 $ và $ n\geq 20 $. Mặt khác, do $ a\geq 1 $ nên $ a+n-1\geq n⇒6300\geq n ^ { 2 } ⇒n\leq 79 $. Suy ra $ n\in \left\{20;21;25;28;30;35;36;42;45;50;60;63;70;75\right\} $. Vậy có tất cả $ 14 $ cấp số cộng thỏa mãn yếu cầu bài ra.