Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 12

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Đạo hàm $y'=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2};y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(0;1)$ và $(1;2)$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y_{\mathrm{CT}}=2$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{\mathrm{CĐ}}=-2$.
Ta có: $\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$ và $\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$.
$\lim_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=1$ và $\lim_{x\to+\infty}(y-x)=-1$ nên đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
$\lim_{x\to1^-}y=-\infty$ và $\lim_{x\to1^+}y=+\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.
Đạo hàm $y'=\frac{-2(2x+1)^2-2}{(2x+1)^2}$. Vì $y'<0$ với mọi $x\neq-\frac{1}{2}$ nên hàm số
nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty\right)$.
Ta có: $\lim_{x\to-\infty}y=+\infty$ và $\lim_{x\to+\infty}y=-\infty$.
$\lim_{x\to+\infty}\frac{y}{x}=-2$ và $\lim_{x\to+\infty}(y+2x)=0$ nên đường thẳng $y=-2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
$\lim_{x\to(-\frac{1}{2})^-}y=-\infty$ và $\lim_{x\to(-\frac{1}{2})^+}y=+\infty$ nên $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:

Đồ thị: