Bài tự luận · Bài 29
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 29
Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc sau, biến ngẫu nhiên rời rạc nào có phân bố Bernoulli? Xác định giá trị của tham số $ p $ và tính phương sai của các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli đó.
a) $ X $ là số mặt sấp xuất hiện khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất.
b) $ Y $ là số mặt sấp xuất hiện khi gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất.
c) Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biến ngẫu nhiên rời rạc $ Z $ nhận giá trị bằng 1 nếu hai mặt có cùng số chấm xuất hiện, bằng 0 nếu ngược lại.
a) $ X $ là số mặt sấp xuất hiện khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất.
b) $ Y $ là số mặt sấp xuất hiện khi gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất.
c) Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biến ngẫu nhiên rời rạc $ Z $ nhận giá trị bằng 1 nếu hai mặt có cùng số chấm xuất hiện, bằng 0 nếu ngược lại.
Xem lời giải
Lời giải
a) $ X $ nhận hai giá trị là 0,1 và $ P(X=1)=1-P(X=0)=\frac { 1 } { 2 } $.
Vậy $ X $ có phân bố Bernoulli với tham số $ p=\frac { 1 } { 2 } $.
Phương sai của $ X $ là $ V(X)=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 4 } $.
b) $ Y $ nhận ba giá trị là $ 0;1 $ và 2 nên $ Y $ không có phân bố Bernoulli.
c) $ Z $ nhận hai giá trị là 0 và 1. Vì có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố " $ Z=1 $ " trong tổng số 36 kết quả có thể xảy ra nên $ P(Z=1)=\frac { 6 } { 36 }=\frac { 1 } { 6 } $
Vậy $ Z $ có phân bố Bernoulli với tham số $ p=\frac { 1 } { 6 } $. Phương sai của $ Z $ là $ V(Z)=\frac { 1 } { 6 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 6 } } \right )=\frac { 5 } { 36 } $.
Vậy $ X $ có phân bố Bernoulli với tham số $ p=\frac { 1 } { 2 } $.
Phương sai của $ X $ là $ V(X)=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 2 } } \right )=\frac { 1 } { 4 } $.
b) $ Y $ nhận ba giá trị là $ 0;1 $ và 2 nên $ Y $ không có phân bố Bernoulli.
c) $ Z $ nhận hai giá trị là 0 và 1. Vì có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố " $ Z=1 $ " trong tổng số 36 kết quả có thể xảy ra nên $ P(Z=1)=\frac { 6 } { 36 }=\frac { 1 } { 6 } $
Vậy $ Z $ có phân bố Bernoulli với tham số $ p=\frac { 1 } { 6 } $. Phương sai của $ Z $ là $ V(Z)=\frac { 1 } { 6 }\left ( { 1-\frac { 1 } { 6 } } \right )=\frac { 5 } { 36 } $.