Trong không gian $Oxyz$, cho $C(-1;2;11)$, $H(-1;2;-1)$. Hình nón $(N)$ có chiều cao $CH=h$ và bán kính đáy $R=3\sqrt2$. Điểm $M$ thuộc đoạn $CH$; thiết diện vuông góc $CH$ tại $M$ là đường tròn $(C_0)$. Khối nón $(N')$ có đỉnh $H$, đáy $(C_0)$. Khi thể tích $(N')$ lớn nhất, mặt cầu ngoại tiếp $(N')$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $d$. Tính $a+b+c+d$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD20. PHUONG TRINH MAT PHANG/F. BAI TAP NANG CAO/image389.png] Đặt $HM=x$, $0<x<h$. Ta có $h=12$ và bán kính thiết diện $r=R(h-x)/h$. Do đó $V=\frac13\pi\frac{R^2}{h^2}(h-x)^2x$. Đạo hàm cho $V'=\frac13\pi\frac{R^2}{h^2}(h-x)(h-3x)$, nên thể tích lớn nhất tại $x=h/3=4$. [IMAGE:question_images/12-CD20. PHUONG TRINH MAT PHANG/F. BAI TAP NANG CAO/image413.png] Khi ấy $r=2\sqrt2$. Gọi $P$ là giao điểm còn lại của trục $HM$ với mặt cầu ngoại tiếp. [IMAGE:question_images/12-CD20. PHUONG TRINH MAT PHANG/F. BAI TAP NANG CAO/image417.png] Từ tam giác vuông $HFP$, $HF^2=HM\cdot HP$, nên $16+(2\sqrt2)^2=4HP$, tức $HP=6$. Vậy $d=HI=3$ và $\overrightarrow{HI}=\frac14\overrightarrow{HC}$, suy ra $I(-1;2;2)$. Do đó $a+b+c+d=6$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 14