Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 15
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(-1;2;4)$, $B(-1;-2;2)$ và $(P):z-1=0$. Điểm $M(a;b;c)\in(P)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích nhỏ nhất. Tính $a^3+b^3+c^3$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $M\in(P)$ nên $M(a;b;1)$. Điều kiện $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0$ cho $(a+1)^2+b^2=1$, do đó $-1\le b\le1$. Ta có
$[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}]=(2b+8;-2(a+1);4(a+1))$,
nên $S_{MAB}=\sqrt{-4b^2+8b+21}$. Hàm dưới dấu căn tăng trên $[-1,1]$, nên nhỏ nhất tại $b=-1$. Khi đó $a=-1$, $c=1$ và $S_{\min}=3$. Vậy $a^3+b^3+c^3=-1$.
$[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM}]=(2b+8;-2(a+1);4(a+1))$,
nên $S_{MAB}=\sqrt{-4b^2+8b+21}$. Hàm dưới dấu căn tăng trên $[-1,1]$, nên nhỏ nhất tại $b=-1$. Khi đó $a=-1$, $c=1$ và $S_{\min}=3$. Vậy $a^3+b^3+c^3=-1$.