Bài tập nâng cao · Bài 26
Dạng 1. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 26
Cho đường thẳng $d:(m^2-1)x+2my+m^2-6m+1=0$. Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn $(C)$ luôn tiếp xúc với $d$ với mọi $m$. Khi đó $a^2-b^2$ có giá trị là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn tiếp xúc đường thẳng và $R$ là bán kính. Khi đó:
$d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|(m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1|}{\sqrt{(m^2-1)^2+(2m)^2}}=R, \forall m\in\mathbb R \\ \Leftrightarrow |(m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1|=R(m^2+1), \forall m\in\mathbb R \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1=R(m^2+1) \\ (m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1=-R(m^2+1) \end{array} \right., \forall m\in\mathbb R$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m^2(a-R+1)+m(2b-6)-a+1-R=0 \\ m^2(a+R+1)+m(2b-6)-a+1+R=0 \end{array} \right., \forall m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a-R+1=0 \\ 2b-6=0 \\ -a+1-R=0 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} a+R+1=0 \\ 2b-6=0 \\ -a+1+R=0 \end{array} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=0 \\ b=3 \\ R=1 \end{array} \right.$.
Vậy $a^2-b^2=0^2-3^2=-9$.
$d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|(m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1|}{\sqrt{(m^2-1)^2+(2m)^2}}=R, \forall m\in\mathbb R \\ \Leftrightarrow |(m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1|=R(m^2+1), \forall m\in\mathbb R \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1=R(m^2+1) \\ (m^2-1)a+2mb+m^2-6m+1=-R(m^2+1) \end{array} \right., \forall m\in\mathbb R$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m^2(a-R+1)+m(2b-6)-a+1-R=0 \\ m^2(a+R+1)+m(2b-6)-a+1+R=0 \end{array} \right., \forall m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a-R+1=0 \\ 2b-6=0 \\ -a+1-R=0 \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l} a+R+1=0 \\ 2b-6=0 \\ -a+1+R=0 \end{array} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=0 \\ b=3 \\ R=1 \end{array} \right.$.
Vậy $a^2-b^2=0^2-3^2=-9$.