Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(t;t^2),t>0$, nằm trên parabol $y=x^2$. Đường trung trực của đoạn $OM$ cắt trục tung tại điểm $N$. Điểm $N$ dần đến điểm nào khi điểm $M$ dần đến điểm $O$?
Xem lời giải
Lời giải
Trung điểm của đoạn $OM$ là $I(\frac t2;\frac{t^2}2)$.
Đường trung trực của đoạn $OM$ đi qua $I(\frac t2;\frac{t^2}2)$ và nhận $\overrightarrow{OM}=(t;t^2)$ làm VTPT nên có phương trình là $(d):t(x-\frac t2)+t^2(y-\frac{t^2}2)=0$.
$(d)$ cắt $Oy$ tại điểm $N\Rightarrow x_N=0$. Ta có: $N(0;y_N)\in(d)\Leftrightarrow t(0-\frac t2)+t^2(y_N-\frac{t^2}2)=0$
$\Leftrightarrow y_N=\frac12(1+t^2)$.
Điểm $M$ dần đến $O$ khi $t$ tiến đến $0^+$. Ta có: $\lim_{t\to0^+}\frac12(1+t^2)=\frac12$.
Vậy khi điểm $M$ dần đến điểm $O$ thì điểm $N$ dần đến điểm $(0;\frac12)$.
