Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 19
Giải phương trình $(4x)^{\log_{8}x}+x^{\log_{8}(4x)}=4$.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $x>0$.
$\begin{array}{l} (4x)^{\log_{8}x}+x^{\log_{8}(4x)}=4\Leftrightarrow (4x)^{\log_{8}x}+(4x)^{\log_{8}x}=4\Leftrightarrow (4x)^{\log_{8}x}=2 \\ \Leftrightarrow \log_{8}x\log_{8}(4x)=\log_{8}2\Leftrightarrow \log_{8}x\left( \frac{2}{3}+\log_{8}x \right)=\frac{1}{3}. \end{array}$
Đặt $t=\log_{8}x$. Phương trình trở thành: $t\left( \frac{2}{3}+t \right)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow t^{2}+\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{1}{3} \\ t=-1 \end{array} \right.$. $t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \log_{8}x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=2$ (nhận); $t=-1\Leftrightarrow \log_{8}x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$ (nhận).
Vậy tập nghiệm là $\left\{ 2;\frac{1}{8} \right\}$.
$\begin{array}{l} (4x)^{\log_{8}x}+x^{\log_{8}(4x)}=4\Leftrightarrow (4x)^{\log_{8}x}+(4x)^{\log_{8}x}=4\Leftrightarrow (4x)^{\log_{8}x}=2 \\ \Leftrightarrow \log_{8}x\log_{8}(4x)=\log_{8}2\Leftrightarrow \log_{8}x\left( \frac{2}{3}+\log_{8}x \right)=\frac{1}{3}. \end{array}$
Đặt $t=\log_{8}x$. Phương trình trở thành: $t\left( \frac{2}{3}+t \right)=\frac{1}{3}\Leftrightarrow t^{2}+\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{1}{3} \\ t=-1 \end{array} \right.$. $t=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \log_{8}x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=2$ (nhận); $t=-1\Leftrightarrow \log_{8}x=-1\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}$ (nhận).
Vậy tập nghiệm là $\left\{ 2;\frac{1}{8} \right\}$.