Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 18
Giải phương trình $\log_{3}\left( x-\sqrt{x^{2}-1} \right)+\log_{5}\left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right)=\log_{15}\left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $x\geq 1$. Đặt $t=x-\sqrt{x^{2}-1}\Rightarrow x+\sqrt{x^{2}-1}=\frac{1}{t}$.
$\begin{array}{l} \log_{3}t+\log_{5}\frac{1}{t}=\log_{15}\frac{1}{t}\Leftrightarrow \log_{3}t-\log_{5}t+\log_{15}t=0 \\ \Leftrightarrow \log_{3}t\left( 1-\log_{5}3+\log_{15}3 \right)=0\Leftrightarrow \log_{3}t=0\Leftrightarrow t=1. \end{array}$
Do đó: $x-\sqrt{x^{2}-1}=1\Leftrightarrow x-1=\sqrt{x^{2}-1}\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=x^{2}-1\Leftrightarrow x=1$ (thoả mãn).
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.
$\begin{array}{l} \log_{3}t+\log_{5}\frac{1}{t}=\log_{15}\frac{1}{t}\Leftrightarrow \log_{3}t-\log_{5}t+\log_{15}t=0 \\ \Leftrightarrow \log_{3}t\left( 1-\log_{5}3+\log_{15}3 \right)=0\Leftrightarrow \log_{3}t=0\Leftrightarrow t=1. \end{array}$
Do đó: $x-\sqrt{x^{2}-1}=1\Leftrightarrow x-1=\sqrt{x^{2}-1}\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=x^{2}-1\Leftrightarrow x=1$ (thoả mãn).
Vậy phương trình có nghiệm $x=1$.