Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8). Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^{2}}{a^{2} }+\frac{y^{2}}{b^{2} }=1$ và chứng minh rằng, nếu điểm $M\left( x_{0};y_{0}\right)$ thuộc elip thì điểm $N\left( \frac{b}{a}x_{0};y_{0}\right)$ thuộc đường tròn phụ.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là $O(0;0)$ và bán kính $b$. Vậy phương trình đường tròn phụ là: $x^{2} +y^{2} =b^{2}$. Có $M\left( x_{0};y_{0}\right)$ thuộc elip nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2} }+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2} }=1$. Xét điểm $N\left( \frac{b}{a}x_{0};y_{0}\right)$, ta có: $\left( \frac{b}{a}x_{0}\right)^{2} +y_{0}^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2} }\cdot x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=b^{2} \left( \frac{x_{0}^{2}}{a^{2} }+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2} } \right)=b^{2} \cdot 1=b^{2} .$ Vậy toạ độ điểm $N$ thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm $N$ thuộc đường tròn phụ.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 3