(CTST12) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình thang $OABC$ có $A(0;2)$, $B(4;1)$ và $C(4;0)$ như Hình. [IMAGE:question_images/12-CD18. UNG DUNG TP TINH DIEN TICH-THE TICH/B. TU LUAN/image220.png] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác $OABC$ quanh trục $Ox$.

Question

Dạng 2. Tính thể tích (CTST12) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình thang $OABC$ có $A(0;2)$, $B(4;1)$ và $C(4;0)$ như Hình. [IMAGE:question_images/12-CD18. UNG DUNG TP TINH DIEN TICH-THE TICH/B. TU LUAN/image220.png] Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác $OABC$ quanh trục $Ox$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Phương trình đường thẳng $AB$ có dạng $y=ax+b$ $(1)$. Thay tọa độ của điểm $A$ và $B$ vào $(1)$, ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}b=2\4a+b=1\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac14\b=2.\end{array}ight.$ Suy ra $AB$ có phương trình: $y=-\frac14x+2$. Vậy tứ giác $OABC$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=-\frac14x+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=4$. Do đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là $V=\pi\int_0^4\left(-\frac14x+2ight)^2dx=\pi\int_0^4\left(\frac{x^2}{16}-x+4ight)dx=\left.\pi\left(\frac{x^3}{48}-\frac{x^2}{2}+4xight)ight|_0^4=\frac{28\pi}{3}$.

Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 25