(Sở Gia Lai 2025) Tổng kết năm học $ 2024-2025 $, đội HSG toán của CLB toán chuyên Gia Lai có $ 7 $ bạn được khen thưởng: Phát, Phong, Đức, Kiên, Dương, Khoa và Hải.Phần thưởng cho tất cả các bạn gồm có $ 4 $ quyển sách Đa thức, $ 5 $quyển sách tổ hợp và $ 5 $ quyển sách Hình học (các quyển sách cùng chủ đề là giống nhau), sao cho mỗi học sinh được $ 2 $ quyển sách khác chủ đề. Tính xác suất để bạn Khoa và bạn Dương có phần thưởng giống nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Giả sử có $ x $ học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp $ y $ học sinh nhận sách Đa thức và Hình học $ z $học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} x+y=4 \\ x+z=5 \\ \end{array} \ y+z=5 \ \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=2 \\ y=2 \\ \end{array} \ z=3 \ \end{array} \end{array} \right. $. Vậy có $ 02 $ học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp, $ 02 $ học sinh nhận sách Đa thức và Tổ hợp, $ 03 $ học sinh nhận sách Tổ hợp và Hình học. Số khả năng chia sách cho $ 7 $ bạn là $ n\left ( { Ω } \right )=C_{ 7 } ^{ 2 }⋅C_{ 5 } ^{ 2 }⋅C_{ 3 } ^{ 3 }=210 $. Gọi $ A $ là biến cố: “Hai bạn Khoa và Dương có phần thưởng giống nhau”. TH1. Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Tổ hợp, khi đó $ 5 $ bạn còn lại có $ 2 $bạn nhận sách Đa Thức và Hình học, $ 3 $ bạn nhận sách Tổ hợp và Hình học. Vậy số cách phân chia là: $ C_{ 5 } ^{ 2 }⋅C_{ 3 } ^{ 3 }=10 $. Tương tự, ta có: TH2. Khoa và Dương cùng nhận sách Đa thức và Hình học: $ C_{ 5 } ^{ 2 }⋅C_{ 3 } ^{ 3 }=10 $. TH3. Khoa và Dương cùng nhận sách Tổ hợp và Hình học: $ C_{ 5 } ^{ 2 }C_{ 3 } ^{ 2 }=30 $. Do đó, suy ra $ n\left ( { A } \right )=10+10+30=50 $, $ ⇒P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 5 } { 21 }≈0,24 $.