Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 6
Giải bất phương trình $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^{2}+1}>(5+2\sqrt{6})^{2x+1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $5+2\sqrt{6}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2}$, do đó bất phương trình biến đổi như sau:
$\begin{array}{l} (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^{2}+1}>(5+2\sqrt{6})^{2x+1}\Leftrightarrow (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^{2}+1}>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2(2x+1)} \\ \Leftrightarrow x^{2}+1<-2(2x+1)\Leftrightarrow x^{2}+4x+3<0\Leftrightarrow (x+1)(x+3)<0\Leftrightarrow -3<x<-1. \end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-3;-1)$.
$\begin{array}{l} (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^{2}+1}>(5+2\sqrt{6})^{2x+1}\Leftrightarrow (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{x^{2}+1}>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{-2(2x+1)} \\ \Leftrightarrow x^{2}+1<-2(2x+1)\Leftrightarrow x^{2}+4x+3<0\Leftrightarrow (x+1)(x+3)<0\Leftrightarrow -3<x<-1. \end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-3;-1)$.