Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 21
Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-mx+2$. Tìm giá trị của m để $y'\geq 0$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $y'=3x^{2}-6x-m$
$y'\geq 0\ \forall x>0\Leftrightarrow 3x^{2}-6x-m\geq 0\ \,\forall x>0$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-6x\geq m\ \,\,\forall x>0$ (*)
Xét hàm số $g\left( x \right)=3x^{2}-6x$, $x\in \left( 0;+\infty \right)$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy $\min\limits_{x\in \left( 0;+\infty \right)}g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=-3$.
Do đó (*) thỏa mãn với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\leq \min\limits_{x\in \left( 0;+\infty \right)}\left( 3x^{2}-6x \right)$ $\Leftrightarrow m\leq -3$.
$y'\geq 0\ \forall x>0\Leftrightarrow 3x^{2}-6x-m\geq 0\ \,\forall x>0$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-6x\geq m\ \,\,\forall x>0$ (*)
Xét hàm số $g\left( x \right)=3x^{2}-6x$, $x\in \left( 0;+\infty \right)$
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy $\min\limits_{x\in \left( 0;+\infty \right)}g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=-3$.
Do đó (*) thỏa mãn với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\leq \min\limits_{x\in \left( 0;+\infty \right)}\left( 3x^{2}-6x \right)$ $\Leftrightarrow m\leq -3$.