Bài tự luận Thể tích · Bài 3

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, $S$ là giao điểm của $AA'$ và $CC'$. Vì $A'B'=\frac12AB$ nên $A'$ là trung điểm của $SA$. Từ đó, suy ra $SA=SC=2a$.
Vì $ABCD$ là hình vuông và $AB=a\sqrt2$ nên $AC=2a$.
Do đó, tam giác $SAC$ đều, có đường cao $SO$.
Từ đó, ta tính được $SO=a\sqrt3$. Vì $A'$ là trung điểm của $SA$ và $SO\perp(ABCD)$ nên chiều cao $h$ của hình chóp cụt $ABCD.A'B'C'D'$ bằng $\frac12SO=\frac{a\sqrt3}{2}$. Diện tích đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt $ABCD.A'B'C'D'$ lần lượt là $2a^2; \frac{a^2}{2}$.
Vậy thể tích khối chóp cụt $ABCD.A'B'C'D'$ bằng
$\frac13\cdot\left(2a^2+\frac{a^2}{2}+\sqrt{2a^2\cdot\frac{a^2}{2}}\right)\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{7a^3\sqrt3}{12}$.