Bài tự luận · Bài 10
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 10
Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ biết $ u_{ 1 } =1,u_{ 2 } =2,u_{ n+1 } =2u_{ n } -u_{ n-1 } +2 $ với $ n\geq 2 $.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt $ v_{ n } =u_{ n+1 } -u_{ n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $. Chứng minh rằng dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của $ v_{ n } ,u_{ n } $ tính theo $ n $.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Đặt $ v_{ n } =u_{ n+1 } -u_{ n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $. Chứng minh rằng dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng.
c) Tìm công thức của $ v_{ n } ,u_{ n } $ tính theo $ n $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số là: $ 1;2;5;10;17 $.
b) Từ công thức $ u_{ n+1 } =2u_{ n } -u_{ n-1 } +2 $ suy ra $ u_{ n+1 } -u_{ n } =u_{ n } -u_{ n-1 } +2 $ hay $ v_{ n } =v_{ n-1 } +2 $ với $ n\geq 2 $. Vậy dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là một cấp số cộng có số hạng đầu $ v_{ 1 } =1 $ và công sai $ d=2 $.
c) Từ kết quả câu b, ta có: $ v_{ n } =-1+2n $.
Ta có:
$ v_{ 1 } =u_{ 2 } -u_{ 1 } \\ v_{ 2 } =u_{ 3 } -u_{ 2 } \\ \cdots \\ v_{ n-2 } =u_{ n-1 } -u_{ n-2 } \\ v_{ n-1 } =u_{ n } -u_{ n-1 } $
Cộng theo từng vế của $ n-1 $ đẳng thức trên, ta có:
$ v_{ 1 } +v_{ 2 } +v_{ 3 } +\ldots +v_{ n-1 } =-u_{ 1 } +u_{ n } \Leftrightarrow u_{ n } =1+(n-1) ^ { 2 } . $
b) Từ công thức $ u_{ n+1 } =2u_{ n } -u_{ n-1 } +2 $ suy ra $ u_{ n+1 } -u_{ n } =u_{ n } -u_{ n-1 } +2 $ hay $ v_{ n } =v_{ n-1 } +2 $ với $ n\geq 2 $. Vậy dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là một cấp số cộng có số hạng đầu $ v_{ 1 } =1 $ và công sai $ d=2 $.
c) Từ kết quả câu b, ta có: $ v_{ n } =-1+2n $.
Ta có:
$ v_{ 1 } =u_{ 2 } -u_{ 1 } \\ v_{ 2 } =u_{ 3 } -u_{ 2 } \\ \cdots \\ v_{ n-2 } =u_{ n-1 } -u_{ n-2 } \\ v_{ n-1 } =u_{ n } -u_{ n-1 } $
Cộng theo từng vế của $ n-1 $ đẳng thức trên, ta có:
$ v_{ 1 } +v_{ 2 } +v_{ 3 } +\ldots +v_{ n-1 } =-u_{ 1 } +u_{ n } \Leftrightarrow u_{ n } =1+(n-1) ^ { 2 } . $