Bài tự luận · Bài 11
Bài tự luận Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11 · Bài 11
Cho dãy số $ \left ( { u_{ n } } \right ) $, biết $ u_{ 1 } =-2,u_{ n+1 } =\frac { n+1 } { 2n }u_{ n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
Đặt $ v_{ n } =\frac { u_{ n } } { n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
a) Chứng minh rằng dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
b) Tìm công thức của $ u_{ n } $ tính theo $ n $.
Đặt $ v_{ n } =\frac { u_{ n } } { n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
a) Chứng minh rằng dãy số $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.
b) Tìm công thức của $ u_{ n } $ tính theo $ n $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ v_{ n+1 } =\frac { u_{ n+1 } } { n+1 }=\left ( { \frac { n+1 } { 2n }u_{ n } } \right ):(n+1)=\frac { u_{ n } } { 2n }=\frac { 1 } { 2 }v_{ n } $ với $ n\in \mathbb{N} ^ { * } $.
Vậy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là một cấp số nhân có số hạng đầu $ v_{ 1 } =-2 $, công bội $ q=\frac { 1 } { 2 } $.
b) Từ kết quả câu a, ta có: $ v_{ n } =(-2)\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-1 } $, suy ra $ u_{ n } =-n\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } $.
Vậy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là một cấp số nhân có số hạng đầu $ v_{ 1 } =-2 $, công bội $ q=\frac { 1 } { 2 } $.
b) Từ kết quả câu a, ta có: $ v_{ n } =(-2)\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-1 } $, suy ra $ u_{ n } =-n\left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { n-2 } $.