Bài tập nâng cao · Bài 54
Dạng 2. Tìm điểm
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 54
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH:2x-3y+12=0$, đường trung tuyến $AN:2x+3y=0$, với $N$ thuộc đường thẳng $BC$; gọi $M\left(-\frac12;2\right)$ là trung điểm của $AB$. Biết điểm $C=(a;b)$. Tính $P=a+b+2020$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $A$ là giao điểm của đường thẳng $AH$ và đường thẳng $AN$ nên tọa độ của $A$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}2x-3y+12=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}\Rightarrow A=(-3;2)$.
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\begin{cases}x_B=2x_M-x_A\\y_B=2y_M-y_A\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_B=2\\y_B=2\end{cases}\Rightarrow B=(2;2)$.
Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $B=(2;2)$ và vuông góc với đường cao $AH:2x-3y+12=0$ là $3(x-2)+2(y-2)=0\Leftrightarrow BC:3x+2y-10=0$.
Do $N$ là giao điểm của đường thẳng $BC:3x+2y-10=0$ và đường trung tuyến $AN:2x+3y=0$, nên tọa độ $N$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}3x+2y-10=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=-4\end{cases}\Rightarrow N=(6;-4)$.
Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\begin{cases}x_C=2x_N-x_B=10\\y_C=2y_N-y_B=-10\end{cases}\Rightarrow C=(10;-10)$.
Vậy $P=a+b+2020=10-10+2020=2020$.
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\begin{cases}x_B=2x_M-x_A\\y_B=2y_M-y_A\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_B=2\\y_B=2\end{cases}\Rightarrow B=(2;2)$.
Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $B=(2;2)$ và vuông góc với đường cao $AH:2x-3y+12=0$ là $3(x-2)+2(y-2)=0\Leftrightarrow BC:3x+2y-10=0$.
Do $N$ là giao điểm của đường thẳng $BC:3x+2y-10=0$ và đường trung tuyến $AN:2x+3y=0$, nên tọa độ $N$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}3x+2y-10=0\\2x+3y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\\y=-4\end{cases}\Rightarrow N=(6;-4)$.
Vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\begin{cases}x_C=2x_N-x_B=10\\y_C=2y_N-y_B=-10\end{cases}\Rightarrow C=(10;-10)$.
Vậy $P=a+b+2020=10-10+2020=2020$.