Bài tự luận · Bài 40
Dạng 2. Sử dụng quy tắc cộng để tính xác suất
Bài tự luận Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 40
(CTST11) Một hộp chứa 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 20. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6".
a) "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37";
b) "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6".
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ A $ là biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 4". Biến cố $ A $ xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 1 và 2. Do đó $ P(A)=\frac { 1 } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 1 } { 190 } $.
Gọi $ B $ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lớn hơn 37 ”. Biến cố $ B $ xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 20 và 18 hoặc 20 và 19. Do đó $ P(B)=\frac { 2 } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 190 } $.
Do $ A $ và $ B $ là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37 " là
$ P(A∪B)=P(A)+P(B)=\frac { 3 } { 190 }. $
b) Gọi $ D $ là biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết cho 6 ".
Do có 3 thẻ chia hết cho 6 nên xác suất của biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra không có thẻ nào ghi số chia hết cho 6 " là
$ P( \bar D)=\frac { C_{ 17 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 68 } { 95 } $
Vậy xác suất của biến cố $ D $ là
$ P(D)=1-P( \bar D)=\frac { 27 } { 95 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Gọi $ E $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6 nhưng không có thẻ nào ghi số chia hết cho 6 ". Biến cố $ E $ xảy ra khi trong hai thẻ lấy ra có một thẻ ghi số chẵn nhưng không chia hết cho 3 (có 7 thẻ như vậy) và thẻ còn lại ghi số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6 (có 3 thẻ như vậy).
Vậy xác suất của biến cố $ E $ là
$ P(E)=\frac { 7.3 } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 21 } { 190 } $
Do $ D $ và $ E $ là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6" là
$ P(D∪E)=P(D)+P(E)=\frac { 15 } { 38 } $
Gọi $ B $ là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lớn hơn 37 ”. Biến cố $ B $ xảy ra khi 2 thẻ được chọn ghi số 20 và 18 hoặc 20 và 19. Do đó $ P(B)=\frac { 2 } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 2 } { 190 } $.
Do $ A $ và $ B $ là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 37 " là
$ P(A∪B)=P(A)+P(B)=\frac { 3 } { 190 }. $
b) Gọi $ D $ là biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ ghi số chia hết cho 6 ".
Do có 3 thẻ chia hết cho 6 nên xác suất của biến cố "Trong 2 thẻ lấy ra không có thẻ nào ghi số chia hết cho 6 " là
$ P( \bar D)=\frac { C_{ 17 } ^{ 2 } } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 68 } { 95 } $
Vậy xác suất của biến cố $ D $ là
$ P(D)=1-P( \bar D)=\frac { 27 } { 95 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Gọi $ E $ là biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6 nhưng không có thẻ nào ghi số chia hết cho 6 ". Biến cố $ E $ xảy ra khi trong hai thẻ lấy ra có một thẻ ghi số chẵn nhưng không chia hết cho 3 (có 7 thẻ như vậy) và thẻ còn lại ghi số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6 (có 3 thẻ như vậy).
Vậy xác suất của biến cố $ E $ là
$ P(E)=\frac { 7.3 } { C_{ 20 } ^{ 2 } }=\frac { 21 } { 190 } $
Do $ D $ và $ E $ là hai biến cố xung khắc nên xác suất của biến cố "Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 6" là
$ P(D∪E)=P(D)+P(E)=\frac { 15 } { 38 } $