Bài tự luận · Bài 17
Bài tự luận Tích phân · Bài 17
Tính các tích phân sau:
a) $ \int _{ -1 }^{ 1 } { (x+1) }\left ( { x ^ { 2 } -x+1 } \right )dx $
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { (1+\sqrt[] { x }) ^ { 2 } } { x } } dx $
c) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4 ^ { x } -1 } { 2 ^ { x } -1 } }dx $
d) $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 2cos ^ { 3 } x-3 } { cos ^ { 2 } x } }dx $
a) $ \int _{ -1 }^{ 1 } { (x+1) }\left ( { x ^ { 2 } -x+1 } \right )dx $
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { (1+\sqrt[] { x }) ^ { 2 } } { x } } dx $
c) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4 ^ { x } -1 } { 2 ^ { x } -1 } }dx $
d) $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 2cos ^ { 3 } x-3 } { cos ^ { 2 } x } }dx $
Xem lời giải
Lời giải
a) $ \int _{ -1 }^{ 1 } { (x+1) }\left ( { x ^ { 2 } -x+1 } \right )dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 3 } +1 } \right ) }dx=\int _{ -1 }^{ 1 } { x ^ { 3 } } dx+\int _{ -1 }^{ 1 } { d }x=\left | { \frac { x ^ { 4 } } { 4 } } \right ._{ -1 } ^{ 1 }+\left | { x } \right ._{ -1 } ^{ 1 }=2 $
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { (1+\sqrt[] { x }) ^ { 2 } } { x } } dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1+2\sqrt[] { x }+x } { x } } dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { \sqrt[] { x } }+1 } \right ) }dx =\int_1^2\frac1x\,dx+4\int_1^2\frac1{2\sqrt{x}}\,dx+\int_1^2dx=\left[\ln x\right]_1^2+4\left[\sqrt{x}\right]_1^2+\left[x\right]_1^2=\ln2+4\sqrt2-3$.
c) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4 ^ { x } -1 } { 2 ^ { x } -1 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { 2 ^ { x } -1 } \right )\left ( { 2 ^ { x } +1 } \right ) } { 2 ^ { x } -1 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2 ^ { x } +1 } \right ) }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { 2 ^ { x } } dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { d }x =\left | { \frac { 2 ^ { x } } { ln2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\left | { x } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 2 } { ln2 }-\frac { 1 } { ln2 }+1=1+\frac { 1 } { ln2 } $
d) $\int_0^{\frac\pi4}\frac{2\cos^3x-3}{\cos^2x}\,dx=2\int_0^{\frac\pi4}\cos x\,dx-3\int_0^{\frac\pi4}\frac1{\cos^2x}\,dx=\left[2\sin x\right]_0^{\frac\pi4}-\left[3\tan x\right]_0^{\frac\pi4}=\sqrt2-3$.
b) $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { (1+\sqrt[] { x }) ^ { 2 } } { x } } dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1+2\sqrt[] { x }+x } { x } } dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }+\frac { 2 } { \sqrt[] { x } }+1 } \right ) }dx =\int_1^2\frac1x\,dx+4\int_1^2\frac1{2\sqrt{x}}\,dx+\int_1^2dx=\left[\ln x\right]_1^2+4\left[\sqrt{x}\right]_1^2+\left[x\right]_1^2=\ln2+4\sqrt2-3$.
c) $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4 ^ { x } -1 } { 2 ^ { x } -1 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { 2 ^ { x } -1 } \right )\left ( { 2 ^ { x } +1 } \right ) } { 2 ^ { x } -1 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2 ^ { x } +1 } \right ) }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { 2 ^ { x } } dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { d }x =\left | { \frac { 2 ^ { x } } { ln2 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\left | { x } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 2 } { ln2 }-\frac { 1 } { ln2 }+1=1+\frac { 1 } { ln2 } $
d) $\int_0^{\frac\pi4}\frac{2\cos^3x-3}{\cos^2x}\,dx=2\int_0^{\frac\pi4}\cos x\,dx-3\int_0^{\frac\pi4}\frac1{\cos^2x}\,dx=\left[2\sin x\right]_0^{\frac\pi4}-\left[3\tan x\right]_0^{\frac\pi4}=\sqrt2-3$.