Cho hai dãy $ \left ( { u_{ n } } \right ),\,\,\left ( { v_{ n } } \right ) $ thỏa mãn $ v_{ n } =u_{ n+1 } -u_{ n } ,\,\,∀n≥1, $ trong đó $ u_{ 1 } =1, $ $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là cấp số cộng có $ v_{ 1 } =3,\,d=3. $ Đặt $ S_{ n } =u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +........+u_{ n } . $ Tính $ \lim\frac { S_{ n } } { n ^ { 3 } }. $

Do $ v_{ n } =v_{ 1 } +\left ( { n-1 } \right )d=3+3\left ( { n-1 } \right )=3n $ $ u_{ n } =\left ( { u_{ n } -u_{ n-1 } } \right )+\left ( { u_{ n-1 } -u_{ n-2 } } \right )+\left ( { u_{ n-2 } -u_{ n-3 } } \right )+.........+\left ( { u_{ 2 } -u_{ 1 } } \right )+u_{ 1 } \\ \,\,\,\,\,\,=v_{ n-1 } +v_{ n-2 } +v_{ n-3 } +.........+v_{ 1 } +1. $ $ u_{ n } =3\left[ \left ( { n-1 } \right )+\left ( { n-2 } \right )+\left ( { n-3 } \right )+........+1 \right]+1=\frac { 3n\left ( { n-1 } \right ) } { 2 }+1=\frac { 3n ^ { 2 } -3n+2 } { 2 }=\frac { 3 } { 2 }n ^ { 2 } -\frac { 3 } { 2 }n+1. $ Ta có $ u_{ 1 } +u_{ 2 } +u_{ 3 } +........+u_{ n } =\frac { 3 } { 2 }\left ( { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } +......+n ^ { 2 } } \right )-\frac { 3 } { 2 }\left ( { 1+2+3+......+n } \right )+n \\ =\frac { 3 } { 2 }\frac { n\left ( { n+1 } \right )\left ( { 2n+1 } \right ) } { 6 }-\frac { 3 } { 2 }\frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 }+n=\frac { n ^ { 3 } +n } { 2 } $ Suy ra $ \lim\frac { S_{ n } } { n ^ { 3 } }=\lim\left ( { \frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2n ^ { 2 } } } \right )=\frac { 1 } { 2 }. $