Bài tự luận · Bài 6
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 6
Xét phép thử $ T_{ 2 } $: "Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp một cách độc lập". Tính xác suất của các biến cố:
$ A_{ 0 } $: "Mặt sấp không xuất hiện trong cả ba lần tung";
$ A_{ 1 } $: "Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả ba lần tung";
$ A_{ 2 } $: "Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả ba lần tung";
$ A_{ 3 } $: "Mặt sấp xuất hiện ba lần trong cả ba lần tung".
$ A_{ 0 } $: "Mặt sấp không xuất hiện trong cả ba lần tung";
$ A_{ 1 } $: "Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả ba lần tung";
$ A_{ 2 } $: "Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả ba lần tung";
$ A_{ 3 } $: "Mặt sấp xuất hiện ba lần trong cả ba lần tung".
Xem lời giải
Lời giải
Xét phép thử $ T $: "Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần". Không gian mẫu của phép thử $ T $ là $ Ω_{ T } =\{S;N\} $. Khi đó, $ T_{ 2 } $ là phép thử lặp có không gian mẫu $ Ω_{ T_{ 2 } } =\{SSS;\,\,SSN;{ \rm{ } }SNS;{ \rm{ } }SNN;{ \rm{ } }NSS;{ \rm{ } }NSN;{ \rm{ } }NNS;{ \rm{ } }NNN\}. $;
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp trong một lần tung là $ \frac { 1 } { 2 } $ nên áp dụng công thức Bernoulli với $ p=\frac { 1 } { 2 } $ và $ k $ nhận giá trị lần lượt bằng $ 0,1,2,3 $ ở phép thử lặp $ T_{ 2 } $, ta có:
$ P\left ( { A_{ 0 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 0 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 0 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-0 } =\frac { 1 } { 8 }=0,125; \\ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 1 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 1 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-1 } =\frac { 3 } { 8 }=0,375; \\ P\left ( { A_{ 2 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 2 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-2 } =\frac { 3 } { 8 }=0,375; \\ P\left ( { A_{ 3 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 3 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-3 } =\frac { 1 } { 8 }=0,125. $
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp trong một lần tung là $ \frac { 1 } { 2 } $ nên áp dụng công thức Bernoulli với $ p=\frac { 1 } { 2 } $ và $ k $ nhận giá trị lần lượt bằng $ 0,1,2,3 $ ở phép thử lặp $ T_{ 2 } $, ta có:
$ P\left ( { A_{ 0 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 0 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 0 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-0 } =\frac { 1 } { 8 }=0,125; \\ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 1 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 1 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-1 } =\frac { 3 } { 8 }=0,375; \\ P\left ( { A_{ 2 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 2 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-2 } =\frac { 3 } { 8 }=0,375; \\ P\left ( { A_{ 3 } } \right )=C_{ 3 } ^{ 3 }\cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3 } \cdot \left ( { \frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 3-3 } =\frac { 1 } { 8 }=0,125. $