Bài tự luận Thể tích · Bài 6

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu của $A$ trên $A'I$.
Ta có: $BC\perp AI$ và $BC\perp AA' \Rightarrow BC\perp(A'AI) \Rightarrow (A'BC)\perp(A'AI)$.
Mặt khác: $(A'AI)\cap(A'BC)=A'I$ và $AH\perp A'I$.
Nên $d\left(A,(A'BC)\right)=AH=\frac{a\sqrt{57}}{12}$.
$\triangle ABC$ đều cạnh $a \Rightarrow AI=\frac{a\sqrt3}{2}$ và $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}$.
Xét tam giác $A'AI$ vuông tại $A$, ta có:
$\frac1{A'A^2}=\frac1{AH^2}-\frac1{AI^2}=\frac{144}{57a^2}-\frac4{3a^2}=\frac{68}{57a^2} \Rightarrow AA'=\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}$.
Vậy $V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}\cdot AA'=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt{57}}{2\sqrt{17}}=\frac{a^3\sqrt{171}}{8\sqrt{17}}$.