Bài tự luận · Bài 14
Dạng 1. Xác định giới hạn của dãy số
Bài tự luận Giới hạn của dãy số · Bài 14
(CTST11) Tuỳ theo giá trị của $a>0$, tìm giới hạn $\lim \frac{a^n}{a^n +1}$.
Xem lời giải
Lời giải
Nếu $0 < a < 1$ thì $\lim a^n =0$ nên $\lim \frac{a^n}{a^n +1}=\frac{\lim a^n}{\lim a^n +1}=\frac{0}{0+1}=0$.
Nếu $a=1$ thì $\lim \frac{a^n}{a^n +1}=\lim \frac{1^n}{1^n +1}=\lim \frac{1}{1+1}=\lim \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
Nếu $a>1$, ta viết $\frac{a^n}{a^n +1}=\frac{1}{1+\left( \frac{1}{a} \right)^n}$ (chia cả tử và mẫu cho $a^n$).
Do $a>1$ nên $0 < \frac{1}{a} < 1$, suy ra $\lim \left( \frac{1}{a} \right)^n =0$. Từ đó,
$\lim \frac{a^n}{a^n +1}=\lim \frac{1}{1+\left( \frac{1}{a} \right)^n}=\frac{1}{1+\lim \left( \frac{1}{a} \right)^n}=\frac{1}{1+0}=1.$
Vậy $\lim \frac{a^n}{a^n +1}$ bằng 0 nếu $0 < a < 1$; bằng $\frac{1}{2}$ nếu $a=1$; bằng 1 nếu $a>1$.
Nếu $a=1$ thì $\lim \frac{a^n}{a^n +1}=\lim \frac{1^n}{1^n +1}=\lim \frac{1}{1+1}=\lim \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
Nếu $a>1$, ta viết $\frac{a^n}{a^n +1}=\frac{1}{1+\left( \frac{1}{a} \right)^n}$ (chia cả tử và mẫu cho $a^n$).
Do $a>1$ nên $0 < \frac{1}{a} < 1$, suy ra $\lim \left( \frac{1}{a} \right)^n =0$. Từ đó,
$\lim \frac{a^n}{a^n +1}=\lim \frac{1}{1+\left( \frac{1}{a} \right)^n}=\frac{1}{1+\lim \left( \frac{1}{a} \right)^n}=\frac{1}{1+0}=1.$
Vậy $\lim \frac{a^n}{a^n +1}$ bằng 0 nếu $0 < a < 1$; bằng $\frac{1}{2}$ nếu $a=1$; bằng 1 nếu $a>1$.