Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 22

Giả sử cô Hạnh cần mua $x$ cổ phiếu $A$ và $y$ cổ phiếu $B$ ($x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}$).
Khi đó, số tiền cô Hạnh cần chi ra là: $15000x+25000y$ (đồng).
Vì số tiền cô Hạnh dự định đầu tư không quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:
$15000x+25000y\leq 1200000000$ hay $3x+5y\leq 240000$.
Vì số lượng cổ phiếu $B$ được mua không quá 12000 cổ phiếu nên $y\leq 12000$.
Một cổ phiếu $A$ sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: $4\%\times15000=600$ (đồng).
Một cổ phiếu $B$ sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là: $10\%\times25000=2500$ (đồng).
Do đó, cô Hạnh nhận được số tiền chi trả cổ tức là: $T=600x+2500y$ (đồng).
Vì vậy, yêu cầu của cô Hạnh có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau: $\left\{\begin{array}{l}\max(T=600x+2500y)\\3x+5y\leq 240000\\y\leq 12000\\x\in\mathbb{N},y\in\mathbb{N}\end{array}\right.\quad(IV)$
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ($x,y$ là các số thực):
$\left\{\begin{array}{l}3x+5y\leq 240000\\y\leq 12000\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.\quad(IV')$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=600x+2500y$ khi $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình (IV').
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV').
Miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với tọa độ các đỉnh $O(0;0),A(0;12000)$, $B(60000;12000),C(80000;0)$.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức $T(x,y)=600x+2500y$ tại các đỉnh của tứ giác này: $T(0,0)=0;T(0,12000)=30000000;T(60000,12000)=66000000;$ $T(80000,0)=48000000$.
Bước 3. Ta đã biết biểu thức $T=600x+2500y$ đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực $(x;y)$ là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác $OABC$. So sánh bốn giá trị thu được của $T$ ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là $T(60000,12000)=66000000$.
Bước 4. Vì 60000 và 12000 đều là số tự nhiên nên cặp số $(x,y)=(60000,12000)$ là nghiệm của bài toán (IV).
Vậy cô Hạnh cần mua 60000 cổ phiếu $A$ và 12000 cổ phiếu $B$ để lợi nhuận thu được là lớn nhất.