Bài tự luận · Bài 28
Dạng 1. Giải tam giác Phương pháp giải tam giác - Nếu biết 2 cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó: Sử dụng định lí côsin. - Nếu biết 1 cạnh và 2 góc bất kì của tam giác: Sử dụng định lí sin. - Nếu biết 3 cạnh của tam giác: Sử dụng định lí côsin. - Có thể dùng các công thức tính diện tích để hỗ trợ giải tam giác.
Bài tự luận Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 28
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ có $\hat A=15^\circ,c=6$ và $\hat B=120^\circ$.
a) Tính độ dài các cạnh $a,b$.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường cao $h_a$.
a) Tính độ dài các cạnh $a,b$.
b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và diện tích của tam giác.
c) Tính độ dài đường cao $h_a$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $\hat A=15^\circ,\hat B=120^\circ$ nên $\hat C=180^\circ-\hat A-\hat B=45^\circ$.
Áp dụng định lí sin ta được:
$a=\frac{c}{\sin C}\cdot\sin A=\frac{6}{\sin45^\circ}\cdot\sin15^\circ=3(\sqrt{3}-1)\\ b=\frac{c}{\sin C}\cdot\sin B=\frac{6}{\sin45^\circ}\cdot\sin120^\circ=3\sqrt{6}$
b) Theo định lí sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là
$R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{6}{2\sin45^\circ}=3\sqrt{2}$.
Do $a=3(\sqrt{3}-1),b=3\sqrt{6},c=6$ và $R=3\sqrt{2}$ nên
$S=\frac{abc}{4R}=\frac{3(\sqrt{3}-1)\cdot3\sqrt{6}\cdot6}{4\cdot3\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}$.
c) Từ kết quả của phần b), suy ra $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{9\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3(\sqrt{3}-1)}=3\sqrt{3}$.
Nhận xét
- Định lí sin giúp ta giải tam giác trong trường hợp biết hai góc và một cạnh của tam giác.
- Ở phần b) cũng có thể sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ để tính diện tích của tam giác.
Áp dụng định lí sin ta được:
$a=\frac{c}{\sin C}\cdot\sin A=\frac{6}{\sin45^\circ}\cdot\sin15^\circ=3(\sqrt{3}-1)\\ b=\frac{c}{\sin C}\cdot\sin B=\frac{6}{\sin45^\circ}\cdot\sin120^\circ=3\sqrt{6}$
b) Theo định lí sin, bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là
$R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{6}{2\sin45^\circ}=3\sqrt{2}$.
Do $a=3(\sqrt{3}-1),b=3\sqrt{6},c=6$ và $R=3\sqrt{2}$ nên
$S=\frac{abc}{4R}=\frac{3(\sqrt{3}-1)\cdot3\sqrt{6}\cdot6}{4\cdot3\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}$.
c) Từ kết quả của phần b), suy ra $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{9\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3(\sqrt{3}-1)}=3\sqrt{3}$.
Nhận xét
- Định lí sin giúp ta giải tam giác trong trường hợp biết hai góc và một cạnh của tam giác.
- Ở phần b) cũng có thể sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ để tính diện tích của tam giác.