Bài tự luận · Bài 11
Dạng 1. Xác định phương trình chính tắc của ba đường conic
Bài tự luận Ba đường conic · Bài 11
(KNTT10) Cho parabol $(P)$ có phương trình ở dạng chính tắc và $(P)$ đi qua điểm $A(8;8)$.
a) Viết phương trình của $(P)$.
b) Tìm tọa độ tiêu điểm $F$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ và tham số tiêu $p$ của $(P)$.
c) Cho điểm $M$ thuộc $(P)$ và có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng $MF$.
a) Viết phương trình của $(P)$.
b) Tìm tọa độ tiêu điểm $F$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ và tham số tiêu $p$ của $(P)$.
c) Cho điểm $M$ thuộc $(P)$ và có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng $MF$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Phương trình chính tắc của $(P)$ có dạng $y^2=2px$, trong đó $p>0$.
Vì $A(8;8)$ thuộc $(P)$ nên ta có phương trình $8^2=2p\cdot8\Leftrightarrow p=4$.
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=8x$.
b) $(P)$ có tiêu điểm là $F\left(\dfrac p2;0\right)=(2;0)$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ là $x=-\dfrac p2=-2$ và có tham số tiêu là $p=4$.
c) Vì điểm $M$ thuộc $(P)$ nên ta có $MF=d(M,\Delta)$.
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $x+2=0$. Từ đó suy ra $MF=d(M,\Delta)=\dfrac{|3+2|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$.
Lưu ý
- Dựa vào điều kiện điểm $M$ có hoành độ bằng 3 và $M$ thuộc $(P)$, ta có thể tìm được hai điểm $M$, từ đó tính được độ dài đoạn thẳng $MF$ (đều bằng 5).
- Với một điểm $N$ bất kì thuộc $(P)$, dựa vào điều kiện $NF=d(N,\Delta)$ và công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có thể tìm ra được công thức tính khoảng cách $NF$ một cách dễ dàng $NF=x_N+\dfrac p2$.
Vì $A(8;8)$ thuộc $(P)$ nên ta có phương trình $8^2=2p\cdot8\Leftrightarrow p=4$.
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=8x$.
b) $(P)$ có tiêu điểm là $F\left(\dfrac p2;0\right)=(2;0)$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ là $x=-\dfrac p2=-2$ và có tham số tiêu là $p=4$.
c) Vì điểm $M$ thuộc $(P)$ nên ta có $MF=d(M,\Delta)$.
Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $x+2=0$. Từ đó suy ra $MF=d(M,\Delta)=\dfrac{|3+2|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5$.
Lưu ý
- Dựa vào điều kiện điểm $M$ có hoành độ bằng 3 và $M$ thuộc $(P)$, ta có thể tìm được hai điểm $M$, từ đó tính được độ dài đoạn thẳng $MF$ (đều bằng 5).
- Với một điểm $N$ bất kì thuộc $(P)$, dựa vào điều kiện $NF=d(N,\Delta)$ và công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có thể tìm ra được công thức tính khoảng cách $NF$ một cách dễ dàng $NF=x_N+\dfrac p2$.