Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 8
(Bài toán vitamin) Một nhà khoa học đã nghiên cứu về tác động phối hợp của hai loại vitamin $A$ và $B$ đối với cơ thể con người. Kết quả như sau:
i) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả $A$ lẫn $B$;
ii) Trong một ngày mỗi người có thể tiếp nhận không quá 600 đơn vị vitamin $A$ và không quá 500 đơn vị vitamin B;
iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin trên, nên mỗi ngày, một người sử dụng số đơn vị vitamin $B$ không ít hơn một nửa số đơn vị vitamin $A$ nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Biết rằng mỗi đơn vị vitamin $A$ có giá 90 đồng và mỗi đơn vị vitamin $B$ có giá 75 đồng. Tìm phương án dùng hai loại vitamin $A$ và $B$ thoả mãn các điều kiện ở trên sao cho chi phí rẻ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số đơn vị vitamin $A$ và $B$ mà một người dùng mỗi ngày.
Bước 2. Chi phí mua vitamin là $F(x;y)=90x+75y$ (đồng).
Bước 3. Hệ bất phương trình ràng buộc $x$ và $y$ là
$\left\{ \begin{array}{l} 0\leq x\leq 600 \\ 0\leq y\leq 500 \\ 400\leq x+y\leq 1000 \\ \frac{1}{2}x\leq y\leq 3x \end{array} \right.$
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền lục giác MNPQRS trong Hình
Các điểm cực biên là:
$M(100;300), N\left(\frac{500}{3};500\right), P(500;500), Q(600;400), R(600;300), S\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)$.
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền lục giác MNPQRS. Ta biết rằng $F(x;y)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của $F(x;y)$ tại các đỉnh của lục giác ta được:
$F(100;300)=31500; F\left(\frac{500}{3};500\right)=52500; F(500;500)=82500$.
$F(600;400)=84000; F(600;300)=76500; F\left(\frac{800}{3};\frac{400}{3}\right)=34000$.
Giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ bằng 31500 tại $M(100;300)$. Phương án tối ưu là $(100;300)$. Vậy chi phí mua vitamin nhỏ nhất là 31500 đồng khi $x=100$ và $y=300$.
Bây giờ ta sẽ xét một tình huống mà phương án tối ưu của bài toán đạt được tại vô số điểm trên miền chấp nhận được.
