Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 31
Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $abcd$ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số $0,\,1,\,2,\,3,\,4$.
Xét $abcd=a.10 ^{3} +b.10 ^{2} +c.10+d$.
* Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
Nếu $d=0$ có $A_{4} ^{3}$ số có chữ số hàng đơn vị là $0$.
Nếu $d\in \left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$ có $3.A_{3} ^{2}$ số có chữ số hàng đơn vị là $\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$.
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị là $3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right)=30.A_{3} ^{2}$
*Tương tự tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm là: $3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right).100+3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right).10=30.A_{3} ^{2}.\left( { 100+10 } \right)$
* Tổng các chữ số hàng nghìn:
Nếu $a\in \left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$ có $A_{4} ^{3}$ số có chữ số hàng nghìn là $\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$.
Do đó tổng các chữ số hàng nghìn là $\left( { 1+2+3+4 } \right).10 ^{3} .A_{4} ^{3}=A_{4} ^{3}.10.10 ^{3}$
Vậy tổng các số là: $A_{4} ^{3}.10.10 ^{3} +30.A_{3} ^{2}\left( { 100+10+1 } \right)=259980$.
Xét $abcd=a.10 ^{3} +b.10 ^{2} +c.10+d$.
* Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
Nếu $d=0$ có $A_{4} ^{3}$ số có chữ số hàng đơn vị là $0$.
Nếu $d\in \left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$ có $3.A_{3} ^{2}$ số có chữ số hàng đơn vị là $\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$.
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị là $3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right)=30.A_{3} ^{2}$
*Tương tự tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm là: $3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right).100+3.A_{3} ^{2}.\left( { 1+2+3+4 } \right).10=30.A_{3} ^{2}.\left( { 100+10 } \right)$
* Tổng các chữ số hàng nghìn:
Nếu $a\in \left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$ có $A_{4} ^{3}$ số có chữ số hàng nghìn là $\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4 \end{array} \right\}$.
Do đó tổng các chữ số hàng nghìn là $\left( { 1+2+3+4 } \right).10 ^{3} .A_{4} ^{3}=A_{4} ^{3}.10.10 ^{3}$
Vậy tổng các số là: $A_{4} ^{3}.10.10 ^{3} +30.A_{3} ^{2}\left( { 100+10+1 } \right)=259980$.