Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 49

Cách 1: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1 (Hình 8): $A,C$ ở cùng phía so với $\Delta$. Khi đó, $d(A,\Delta )=d(C,\Delta )\Leftrightarrow \Delta \parallel AC.$

Ta có: $\overset\rightarrow { AC }=(1;-5)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$, do đó phương trình của $\Delta$ là: $\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-5}$ hay $5x+y+3=0$.
Trường hợp 2 (Hình 9): $A,C$ ở khác phía so với $\Delta$. Khi đó, $d(A,\Delta )=d(C,\Delta )$ khi và chỉ khi $\Delta$ đi qua trung điểm $M$ của $AC$.

Ta có: $M\left( \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { BM }=\left( \frac{7}{2};-\frac{1}{2} \right)$.
Chọn $u=(7;-1)$ làm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
$\frac{x+1}{7}=\frac{y-2}{-1}$ hay $x+7y-13=0$.
Cách 2: Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $B$ và có vectơ pháp tuyến là $n=(a;b)$. Khi đó, ta có phương trình $\Delta$ là: $a(x+1)+b(y-2)=0$ hay $ax+by+(a-2b)=0$.
Ta có:
$d(A,\Delta )=d(C,\Delta )\Leftrightarrow \frac{\left| 3a+2b \right| }{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }=\frac{\left| 4a-3b \right| }{\sqrt{a^{2} +b^{2} } }$
$\Leftrightarrow |3a+2b|=|4a-3b|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3a+2b=4a-3b\\3a+2b=-4a+3b\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-a+5b=0\ (1)\\7a-b=0\end{array}\right.$
Với (1), ta có thể chọn $a=5,b=1$. Khi đó, phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $5x+y+3=0$.
Với (2), ta có thể chọn $a=1,b=7$. Khi đó, phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $x+7y-13=0$.