a) Vẽ đồ thị của hai hàm số $ y=e ^ { x } $ và $ y=lnx $ trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng $ y=x $, tức là nếu điểm $ M $ nằm trên một đồ thị thì điểm $ M ^ { ′ } $ đối xứng với $ M $ qua đường thẳng $ y=x $ sẽ nằm trên đồ thị còn lại.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đồ thị của hai hàm số $ y=e ^ { x } $ và $ y=lnx $ trên cùng một hệ trục toạ độ như hình sau:
b) Xét điểm $ A\left ( { x_{ 0 } ,e ^ { x_{ 0 } } } \right ) $ nằm trên đồ thị hàm số $ y=e ^ { x } $.
Viết phương trình đường thẳng đi qua $ A $ vuông góc với đường thẳng $ y=x $:
$ d:y=-x+x_{ 0 } +e ^ { x_{ 0 } } $.
Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ d $ và đường thẳng $ y=x $ là điểm
$ B\left ( { \frac { x_{ 0 } +e ^ { x_{ 0 } } } { 2 };\frac { x_{ 0 } +e ^ { x_{ 0 } } } { 2 } } \right ){ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Gọi $ A ^ { ′ } $ là điểm đối xứng của $ A $ qua đường thẳng $ y=x $. Ta tìm được $ A ^ { ′ } \left ( { e ^ { x_{ 0 } } ;x_{ 0 } } \right ) $. Khi đó $ A ^ { ′ } $ thuộc đồ thị hàm số $ y=lnx $.
Tương tự, nếu điểm $ B\left ( { x_{ 0 } ;lnx_{ 0 } } \right ) $ nằm trên đồ thị hàm số $ y=lnx $ thì ta cũng có thể tìm toạ độ của điểm $ B ^ { ′ } $ đối xứng với $ B $ qua đường thẳng $ y=x $ và chứng minh $ B ^ { ′ } $ thuộc đồ thị hàm số $ y=e ^ { x } $.
Vậy hai đồ thị đã cho đối xứng với nhau qua đường thẳng $ y=x $.
Chú ý. Tổng quát, có thể chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số $ y=a ^ { x } $ và $ y=log_{ a } x(0 < a\neq 1) $ đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất (tức là đường thẳng $ y=x $).
