Bài tự luận · Bài 35
Bài tự luận Ôn tập Lượng giác 11 · Bài 35
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $ v_{ 0 } =500m/s $, hợp với phương ngang một góc $ \alpha $. Trong Vật lí nếu bỏ qua sức cản không khí và coi quả đạn pháo bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn được mô hình hóa bởi hàm số $ y=\frac { -g } { 2v_{ 0 } ^{ 2 }cos ^ { 2 } \alpha }x ^ { 2 } +xtan\alpha . $ trong đó $ g $là gia tốc trọng trường lấy xấp xỉ bằng $ 9,8m/s ^ { 2 } . $Tính góc bắn $ \alpha $ để quả đạn bay xa nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $ v_{ 0 } =500{ \rm{ } }{ \rm{ m } }/{ \rm{ s } },g=9,8{ \rm{ } }{ \rm{ m } }/{ \rm{ s } } ^ { 2 } $ nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là $ y=\frac { -9,8 } { 2\cdot 500 ^ { 2 } \cdot cos ^ { 2 } \alpha }x ^ { 2 } +xtan\alpha $ hay $ y=\frac { -49 } { 2500000cos ^ { 2 } \alpha }x ^ { 2 } +xtan\alpha $.
Quả đạn chạm đất khi $ { \rm{ y } }=0 $, khi đó $ \frac { -49 } { 2500000cos ^ { 2 } \alpha }x ^ { 2 } +xtan\alpha =0 $ $ \Leftrightarrow x\left ( { \frac { -49 } { 2500000cos ^ { 2 } \alpha }x+tan\alpha } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 2500000cos ^ { 2 } \alpha \cdot tan\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 2500000cos\alpha \cdot sin\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 1250000sin2\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $.
Loại $ x=0 $(đạn pháo chưa được bắn).
Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $ x=\frac { 1250000sin2\alpha } { 49 }\left ( { { \rm{ } }{ \rm{ m } } } \right ) $.
Quả đạn bay xa nhất khi x đạt giá trị lớn nhất
$ \Leftrightarrow sin2\alpha =1\Leftrightarrow \alpha =\frac { \pi } { 4 }+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \alpha \in \left ( { 0;\frac { \pi } { 2 } } \right )\Rightarrow k=0\,\Rightarrow \alpha =\frac { \pi } { 4 } $
Vậy $ \alpha =45 ^ { \circ } . $
Quả đạn chạm đất khi $ { \rm{ y } }=0 $, khi đó $ \frac { -49 } { 2500000cos ^ { 2 } \alpha }x ^ { 2 } +xtan\alpha =0 $ $ \Leftrightarrow x\left ( { \frac { -49 } { 2500000cos ^ { 2 } \alpha }x+tan\alpha } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 2500000cos ^ { 2 } \alpha \cdot tan\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 2500000cos\alpha \cdot sin\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=0 \\ x=\frac { 1250000sin2\alpha } { 49 } \\ \end{array} \right. $.
Loại $ x=0 $(đạn pháo chưa được bắn).
Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $ x=\frac { 1250000sin2\alpha } { 49 }\left ( { { \rm{ } }{ \rm{ m } } } \right ) $.
Quả đạn bay xa nhất khi x đạt giá trị lớn nhất
$ \Leftrightarrow sin2\alpha =1\Leftrightarrow \alpha =\frac { \pi } { 4 }+k\pi \,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \alpha \in \left ( { 0;\frac { \pi } { 2 } } \right )\Rightarrow k=0\,\Rightarrow \alpha =\frac { \pi } { 4 } $
Vậy $ \alpha =45 ^ { \circ } . $