Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 15
Cho hàm số $y=f(x)=\frac{\cos^{2}x}{1+\sin^{2}x}$. Hãy tính $T=f\left( \frac{\pi}{4} \right)-3f'\left( \frac{\pi}{4} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{-2\sin x.\cos x\left( 1+\sin^{2}x \right)-2\sin x.\cos x.\cos^{2}x}{\left( 1+\sin^{2}x \right)^{2}}=\frac{-2\sin 2x}{\left( 1+\sin^{2}x \right)^{2}}$.
Do đó: $f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\cos^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right)}{1+\sin^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right)}=\frac{1}{3}$.
$f'\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{-2\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} \right)}{\left( 1+\sin^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)^{2}}=-\frac{8}{9}$.
Suy ra: $f\left( \frac{\pi}{4} \right)-3f'\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{3}-3.\left( \frac{-8}{9} \right)=3$.
Do đó: $f\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{\cos^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right)}{1+\sin^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right)}=\frac{1}{3}$.
$f'\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{-2\sin\left( 2.\frac{\pi}{4} \right)}{\left( 1+\sin^{2}\left( \frac{\pi}{4} \right) \right)^{2}}=-\frac{8}{9}$.
Suy ra: $f\left( \frac{\pi}{4} \right)-3f'\left( \frac{\pi}{4} \right)=\frac{1}{3}-3.\left( \frac{-8}{9} \right)=3$.