(CD11) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB\perp (BCD)$, các tam giác $BCD$ và $ACD$ là những tam giác nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $BCD,ACD$. Chứng minh rằng:
a) $CD\perp (ABH)$ và $CD\perp (ABK)$;
b) Bốn điểm $A,B,H,K$ cùng thuộc một mặt phẳng.
c) Ba đường thẳng $AK,BH,CD$ cùng đi qua một điểm.

Question

Dạng 3. Vận dụng trong một số bài toán xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng của hình học không gian (CD11) Cho tứ diện $ABCD$ có $AB\perp (BCD)$, các tam giác $BCD$ và $ACD$ là những tam giác nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $BCD,ACD$. Chứng minh rằng: a) $CD\perp (ABH)$ và $CD\perp (ABK)$; b) Bốn điểm $A,B,H,K$ cùng thuộc một mặt phẳng. c) Ba đường thẳng $AK,BH,CD$ cùng đi qua một điểm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-31. DUONG THANG VUONG GOC VS MP - PHEP CHIEU VUONG GOC/B. TU LUAN/image720.png] a) Vì $AB\perp (BCD)$ và $CD\subset (BCD)$ nên $AB\perp CD$. Mà $BH\perp CD$ vì $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$ và $AB,BH$ cắt nhau trong mặt phẳng $(ABH)$ nên $CD\perp (ABH)$. Tương tự ta chứng minh được $CD\perp (ABK)$. b) Vì hai mặt phẳng $(ABH)$ và $(ABK)$ cùng đi qua điểm $A$ và vuông góc với $CD$ nên hai mặt phẳng này trùng nhau. Vậy bốn điểm $A,B,H,K$ cùng thuộc một mặt phẳng. c) Trong mặt phẳng $(BCD)$, gọi $I$ là giao điểm của $BH$ và $CD$. Khi đó, ba điểm $A,K,I$ đều thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABHK)$ và $(ACD)$. Suy ra $A,K,I$ thẳng hàng. Vậy ba đường thẳng $AK,BH,CD$ cùng đi qua một điểm.

Bài tự luận Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng · Bài 31