Đúng/Sai · Câu 11
Cho tứ diện $ ABCD $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ACD $, $ G' $ là hình chiếu của điểm $ G $ trên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $ theo phương chiếu $ AB $. Gọi $ M,\,N,\,I $ lần lượt là trung điểm của $ AD,\ AC $ và $ CD $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Qua phép chiếu song song phương $ AB $lên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $ thì $ B $ là hình chiếu của $ A $ và $ I $ là hình chiếu của chính nó, nên $ IB $ là hình chiếu của $ IA $ trên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $.
b) Sai
c) Đúng. Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự ba điểm $ A,\,G,\,I $ nên hình biểu diễn $ G' $ của $ G $ nằm trên $ BI $.
Trong tam giác $ IAB $, ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { IG } { IA }=\frac { IG' } { IB } \\ \frac { IG } { IA }=\frac { 1 } { 3 } \end{array} \right.⇒\frac { IG' } { IB }=\frac { 1 } { 3 } $.
Suy ra $ G $ là trọng tâm tam giác $ BCD $.
d) Đúng. Gọi $ M',\,N' $ lần lượt là hình chiếu của $ M,\,N $ qua phép chiếu song song phương $ AB $ trên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $.
Ta thấy:
$ BD $ là hình chiếu của $ AD $ trên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $; $ M $ là trung điểm của $ AD $ nên $ M' $ là trung điểm của $ BD $.
$ BC $ là hình chiếu của $ AC $ trên mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $; $ N $ là trung điểm của $ AC $ nên $ N' $ là trung điểm của $ BC $.
Vậy $ M'N' $ là đường trung bình của tam giác $ BCD $.