Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số trong $ \left[ -2;9 \right] $ sao cho phương trình $ \left ( { m ^ { 2 } -5m+4 } \right )x ^ { 5 } +x ^ { 2 } +4=0 $ có nghiệm.

Lời giải Xét phương trình $(m^{2} - 5m + 4)x^{5} + x^{2} + 4 = 0 \quad (1)$. Đặt $f(x) = (m^{2} - 5m + 4)x^{5} + x^{2} + 4$. - Trường hợp 1: $m^{2} - 5m + 4 = 0 \iff \begin{cases} m = 1 \\ m = 4 \end{cases}$. Khi đó phương trình (1) trở thành $x^{2} + 4 = 0$ (vô nghiệm). - Trường hợp 2: $m^{2} - 5m + 4 \neq 0 \iff m \neq 1$ và $m \neq 4$. Khi đó $f(x)$ là một hàm số đa thức bậc lẻ (bậc 5), liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty \quad \text{và} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = \mp\infty $$ Do đó luôn tồn tại hai số thực $a, b$ sao cho $f(a) \cdot f(b) < 0$. Vì hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ nên phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a; b)$. Như vậy, phương trình luôn có nghiệm với mọi $m \neq 1$ và $m \neq 4$. Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in [-2; 9]$ nên $m \in \{-2; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9\}$. Vậy có tất cả 10 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn.