Bài tự luận · Bài 13
Dạng 1. Tính diện tích
Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 13
(CTST12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
a) $ y=x ^ { 2 } +2x+1,y=1-2x $ và hai đường thẳng $ x=-1 $ và $ x=2 $.
b) $ y=x-4x ^ { 3 } ,y=2x $ và hai đường thẳng $ x=1,x=4 $.
a) $ y=x ^ { 2 } +2x+1,y=1-2x $ và hai đường thẳng $ x=-1 $ và $ x=2 $.
b) $ y=x-4x ^ { 3 } ,y=2x $ và hai đường thẳng $ x=1,x=4 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { \left ( { x ^ { 2 } +2x+1 } \right )-(1-2x) } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +4x } \right | }dx $.
Ta có $ x ^ { 2 } +4x=0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=-4 $.
Phương trình chỉ có một nghiệm $ x=0 $ thuộc $ [-1;2] $.
Do đó, $ S=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left | { x ^ { 2 } +4x } \right | }dx+\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +4x } \right | }dx=\left | { \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { x ^ { 2 } +4x } \right ) }dx } \right |+\left | { \int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } +4x } \right ) }dx } \right | $
$ =\left | { \left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } } \right ) } \right |_{ -1 } ^{ 0 }\|+\|\left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }{ \rm{ } }=\frac { 5 } { 3 }+\frac { 32 } { 3 }=\frac { 37 } { 3 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { \left ( { x-4x ^ { 3 } } \right )-2x } \right | }dx=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { -\left ( { 4x ^ { 3 } +x } \right ) } \right | }dx $$ =\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { 4x ^ { 3 } +x } \right | }dx $
Ta có $ 4x ^ { 3 } +x>0 $ với mọi $ x\in [1;4] $.
Do đó, $ S=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { 4x ^ { 3 } +x } \right ) }dx=\left | { \left ( { x ^ { 4 } +\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=\frac { 525 } { 2 } $.
Ta có $ x ^ { 2 } +4x=0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=-4 $.
Phương trình chỉ có một nghiệm $ x=0 $ thuộc $ [-1;2] $.
Do đó, $ S=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left | { x ^ { 2 } +4x } \right | }dx+\int _{ 0 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 2 } +4x } \right | }dx=\left | { \int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { x ^ { 2 } +4x } \right ) }dx } \right |+\left | { \int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 2 } +4x } \right ) }dx } \right | $
$ =\left | { \left | { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } } \right ) } \right |_{ -1 } ^{ 0 }\|+\|\left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 2 }{ \rm{ } }=\frac { 5 } { 3 }+\frac { 32 } { 3 }=\frac { 37 } { 3 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
b) Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { \left ( { x-4x ^ { 3 } } \right )-2x } \right | }dx=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { -\left ( { 4x ^ { 3 } +x } \right ) } \right | }dx $$ =\int _{ 1 }^{ 4 } { \left | { 4x ^ { 3 } +x } \right | }dx $
Ta có $ 4x ^ { 3 } +x>0 $ với mọi $ x\in [1;4] $.
Do đó, $ S=\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { 4x ^ { 3 } +x } \right ) }dx=\left | { \left ( { x ^ { 4 } +\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }=\frac { 525 } { 2 } $.