Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 39
Trong một phản ứng hoá học, lượng khí $CO_2$ thoát ra $V(t)$ được tính theo thời gian $t$ bằng công thức: $V(t)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left(e^{-k_2t}-e^{-k_1t}\right)$, trong đó $V(t)$ được tính theo đơn vị mililít và $t$ được tính theo đơn vị giây; $k_1,k_2$ là các hằng số sao cho $k_1>k_2>0$ (Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).
Lượng khí $CO_2$ thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $V(t)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\cdot\left(e^{-k_2t}-e^{-k_1t}\right)$,
$V'(t)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\cdot\left(-k_2\cdot e^{-k_2t}+k_1\cdot e^{-k_1t}\right)$.
$V'(t)=0\Leftrightarrow-k_2\cdot e^{-k_2t}+k_1\cdot e^{-k_1t}=0\Leftrightarrow\frac{k_1}{k_2}=e^{t(k_1-k_2)}\Leftrightarrow t=\frac{\ln k_1-\ln k_2}{k_1-k_2}$.
Ta có bảng biến thiên:
Lượng $CO_2$ thoát ra lớn nhất là
$V\left(\frac{\ln k_1-\ln k_2}{k_1-k_2}\right)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\cdot\left[\left(\frac{k_2}{k_1}\right)^{\frac{k_2}{k_1-k_2}}-\left(\frac{k_2}{k_1}\right)^{\frac{k_1}{k_1-k_2}}\right]$.
