Bài tự luận · Bài 43
Dạng 3. Tìm giới hạn có điều kiện tham số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 43
(CTST11) Tìm giá trị của các tham số $a$ và $b$, biết rằng:
a) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=5$
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$.
a) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=5$
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $\lim\limits_{x\to 2}(x-2)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=5$, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 2}(ax+b)=0$ hay $2a+b=0$, suy ra $b=-2a$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax-2a}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{a(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}a=a$.
Suy ra $a=5$ và $b=-10$.
b) Do $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 1}(a\sqrt{x}+b)=0$ hay $a+b=0$, suy ra $b=-a$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}$. Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay $a=6$, suy ra $b=-6$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax+b}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{ax-2a}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{a(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}a=a$.
Suy ra $a=5$ và $b=-10$.
b) Do $\lim\limits_{x\to 1}(x-1)=0$ nên để tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=3$, trước hết ta phải có $\lim\limits_{x\to 1}(a\sqrt{x}+b)=0$ hay $a+b=0$, suy ra $b=-a$.
Khi đó, $\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}$
$=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=\frac{a}{2}$. Suy ra $\frac{a}{2}=3$ hay $a=6$, suy ra $b=-6$.