Bài tự luận · Bài 36
DẠNG 3. Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 36
(CD10) Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=4+t \\ y=-1+2t \\ \end{array} \right.$ và điểm $A(2;1)$. Hai điểm $M,N$ nằm trên $\Delta$.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $AM=\sqrt{17}$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ sao cho đoạn thẳng $AN$ ngắn nhất.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $AM=\sqrt{17}$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ sao cho đoạn thẳng $AN$ ngắn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) $M$ nằm trên $\Delta$ nên ta lấy toạ độ của $M$ là $(4+m;-1+2m)$ ( $m$ là số thực).
Ta có: $AM=\sqrt{17}\Leftrightarrow (m+2)^{2} +(2m-2)^{2} =17\Leftrightarrow 5m^{2} -4m-9=0.$
Giải phương trình trên ta có: $m=\frac{9}{5}$ hoặc $m=-1$.
Vậy có 2 trường hợp là $M\left( \frac{29}{5};\frac{13}{5} \right)$ và $M(3;-3)$.
b) $N$ nằm trên $\Delta$ nên ta lấy tọa độ của $N$ là $(4+n;-1+2n)$ ( $n$ là số thực).
Ta có: $\overset\rightarrow { AN }=(n+2;2n-2)$ và $u=(1;2)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Đoạn thẳng $AN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta$. Suy ra $AN$ vuông góc với $\Delta$ hay $u\cdot \overset\rightarrow { AN }=0\Leftrightarrow 1(n+2)+2(2n-2)=0\Leftrightarrow n=\frac{2}{5}.$
Vậy $N\left( \frac{22}{5};-\frac{1}{5} \right)$.
Ta có: $AM=\sqrt{17}\Leftrightarrow (m+2)^{2} +(2m-2)^{2} =17\Leftrightarrow 5m^{2} -4m-9=0.$
Giải phương trình trên ta có: $m=\frac{9}{5}$ hoặc $m=-1$.
Vậy có 2 trường hợp là $M\left( \frac{29}{5};\frac{13}{5} \right)$ và $M(3;-3)$.
b) $N$ nằm trên $\Delta$ nên ta lấy tọa độ của $N$ là $(4+n;-1+2n)$ ( $n$ là số thực).
Ta có: $\overset\rightarrow { AN }=(n+2;2n-2)$ và $u=(1;2)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Đoạn thẳng $AN$ ngắn nhất khi và chỉ khi $N$ là hình chiếu của $A$ lên $\Delta$. Suy ra $AN$ vuông góc với $\Delta$ hay $u\cdot \overset\rightarrow { AN }=0\Leftrightarrow 1(n+2)+2(2n-2)=0\Leftrightarrow n=\frac{2}{5}.$
Vậy $N\left( \frac{22}{5};-\frac{1}{5} \right)$.