Bài tự luận · Bài 37
DẠNG 3. Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 37
(CD10) Cho ba điểm $A(-2;2),B(7;5),C(4;-5)$ và đường thẳng $\Delta :2x+y-4=0$.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ và cách đều hai điểm $A$ và $B$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc $\Delta$ sao cho $\left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right|$ có giá trị nhỏ nhất.
a) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ và cách đều hai điểm $A$ và $B$.
b) Tìm toạ độ điểm $N$ thuộc $\Delta$ sao cho $\left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right|$ có giá trị nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) Cách 1: $M$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $M(m;4-2m)$ ( $m$ là số thực). Ta có: $MA=\sqrt{(-2-m)^{2} +(-2+2m)^{2} },MB=\sqrt{(7-m)^{2} +(1+2m)^{2} }. \\ MA=MB\Leftrightarrow \sqrt{(-2-m)^{2} +(-2+2m)^{2} }=\sqrt{(7-m)^{2} +(1+2m)^{2} }\Leftrightarrow m=7.$
Vậy $M(7;-10)$.
Cách 2: Điểm $M$ là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $\Delta$.
b) $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $N(n;4-2n)$ (n là số thực).
Ta có: $\overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC }=(9-3n;-10+6n)$.
$\begin{array}{ll} \left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right| & =\sqrt{(9-3n)^{2} +(-10+6n)^{2} }=\sqrt{45n^{2} -174n+181 } \\ & =\sqrt{45\left( n-\frac{29}{15} \right)^{2} +\frac{64}{5} }\geq \sqrt{\frac{64}{5} }=\frac{8\sqrt{5}}{5}. \\ \end{array}$
Vậy $\left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ khi $N\left( \frac{29}{15};\frac{2}{15} \right)$.
Vậy $M(7;-10)$.
Cách 2: Điểm $M$ là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng $AB$ và đường thẳng $\Delta$.
b) $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$ nên $N(n;4-2n)$ (n là số thực).
Ta có: $\overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC }=(9-3n;-10+6n)$.
$\begin{array}{ll} \left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right| & =\sqrt{(9-3n)^{2} +(-10+6n)^{2} }=\sqrt{45n^{2} -174n+181 } \\ & =\sqrt{45\left( n-\frac{29}{15} \right)^{2} +\frac{64}{5} }\geq \sqrt{\frac{64}{5} }=\frac{8\sqrt{5}}{5}. \\ \end{array}$
Vậy $\left| \overset\rightarrow { NA }+\overset\rightarrow { NB }+\overset\rightarrow { NC } \right|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ khi $N\left( \frac{29}{15};\frac{2}{15} \right)$.