Bài tự luận · Bài 14
Dạng 1. Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Bài tự luận Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 14
(KNTT11) Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:
$\sinh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right);\cosh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x} \right).$
Chứng minh rằng:
a) $\sinh x$ là hàm số lẻ;
b) $\cosh x$ là hàm số chẵn;
c) $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1$ với mọi $x$.
$\sinh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right);\cosh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x} \right).$
Chứng minh rằng:
a) $\sinh x$ là hàm số lẻ;
b) $\cosh x$ là hàm số chẵn;
c) $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=1$ với mọi $x$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $f(x)=\sinh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x} \right)\Rightarrow f(-x)=\frac{1}{2}\left( e^{-x}-e^{x} \right)=-f(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, $\sinh x$ là hàm số lẻ.
b) Ta có: $g(x)=\cosh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x} \right)\Rightarrow g(-x)=\frac{1}{2}\left( e^{-x}+e^{x} \right)=g(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, $\cosh x$ là hàm số chẵn.
c) Ta có: $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=\frac{1}{4}\left( e^{x}+e^{-x} \right)^{2}-\frac{1}{4}\left( e^{x}-e^{-x} \right)^{2}=\frac{1}{4}\cdot 2e^{-x}\cdot 2e^{x}=1$.
Do đó, $\sinh x$ là hàm số lẻ.
b) Ta có: $g(x)=\cosh x=\frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x} \right)\Rightarrow g(-x)=\frac{1}{2}\left( e^{-x}+e^{x} \right)=g(x),\ \forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó, $\cosh x$ là hàm số chẵn.
c) Ta có: $(\cosh x)^{2}-(\sinh x)^{2}=\frac{1}{4}\left( e^{x}+e^{-x} \right)^{2}-\frac{1}{4}\left( e^{x}-e^{-x} \right)^{2}=\frac{1}{4}\cdot 2e^{-x}\cdot 2e^{x}=1$.